Este trabajo es más técnico que musical. Pretende servir a los músicos que realizan la práctica de los temperamentos históricos en instrumentos de teclado, en particular, a los clavecinistas que alguna vez se han hecho alguna pregunta del tipo:
¿Por qué los logaritmos en los cálculos? ¿Qué es un cent, que aparece en los aparatos afinadores? ¿Qué es mayor, un coma sintónico o un coma enarmónico? ¿Cuál es la frecuencia de batidos en una tercera mayor pitagórica? ¿Qué justificación tiene la prueba de la cuarta para temperar una quinta? ¿Baten igual las seis quintas temperadas iguales entre sí del temperamento de Tartini- Vallotti? ¿Se puede tocar en cualquier tonalidad en un temperamento desigual? ¿Cómo son los batidos del acorde de Do Mayor en el temperamento reconstruído por Kellner? ¿Si no tengo un diapasón en Do, correspondiente a un La 415, cómo puedo afinar a la antigua?
En cuanto a los problemas de la práctica de la afinación: escucha de los batidos, subir quintas o bajar cuartas, conveniencia o no de realizar la partición en las dos octavas centrales del clave, métodos de verificación de intervalos temperados, etc., las mejores indicaciones que he encontrado son (aunque no necesariamente en este orden) las del libro de Asselin citado en la bibliografía, las de cualquier clavecinista experimentado en la afinación de su instrumento y, finalmente y sobre todo, la práctica sobre la mayor variedad posible de instrumentos, de distintos estilos, en diferentes condiciones acústicas del instrumento y en diferentes condiciones físicas y químicas del afinador, en distintos estados anímicos y a las más variadas horas del día y de la noche.
Doy por supuesto que los aparatos afinadores, cuyo grado de eficacia
depende de la agudeza de la vista, en la mayor parte de los casos, y no
del oído de la persona que afina son descartados para la realización de
un agradable temperamento irregular a la antigua.
Un intervalo musical es una relación entre dos frecuencias, f1 y f2 (en hertzios), que identifica el oído humano independientemente de las alturas de los dos sonidos que lo forman. Dos frecuencias diferentes, f’1 y f'2 que forman el mismo intervalo es reconocido de esta manera por el oído humano. Así, un intervalo entre dos notas y el intervalo entre las mismas notas a la octava superior, por poner un ejemplo muy evidente, son percibidos como el mismo.
Las propiedades de tal relación hacen identificar “intervalo” con “diferencia” y quizás ésta con “resta aritmética”, pero puede comprobarse que esto no puede ser así, ya que si dos sonidos tienen frecuencias f1 y f2, respectivamente y forman un intervalo i = f1 - f2, ambos sonidos “a la octava”, es decir, con frecuencias 2·f1 y 2·f2 (desde la antigüedad es conocido que si un sonido tiene una frecuencia f, la frecuencia de su octava superior es el doble, 2·f), formarían el intervalo 2·f2 - 2·f1 = 2·i. En cambio, el cociente de dos números es independiente del “tamaño absoluto” de cada uno de ellos y esto, en nuestro caso, se traduce a la independencia de “altura” de los sonidos en cuestión:
Un resultado inmediato es que si un intervalo es ascendente (desde
f1
), la frecuencia
f2
es mayor que
f1
, y esto se refleja en que el valor de i es mayor que
la unidad. Análogamente, un intervalo descendente es menor
que la unidad.
Según lo anterior, si una nota tiene una frecuencia f, la nota que forma un intervalo superior i con ella tendrá una frecuencia f’ de modo que
Análogamente, si una nota tiene una frecuencia f, la nota que forma un intervalo inferior i con ella tendrá una frecuencia f’ de modo que
Los armónicos de una nota de frecuencia f tienen frecuencias: f (el propio sonido fundamental es el primer armónico), 2·f, 3·f, 4·f y, en general, n·f, siendo n un número entero positivo. Es decir, el armónico n-simo de f es n·f.
Como es sabido, los intervalos naturales a partir de un sonido f son:
¿Cómo “sumar” dos intervalos?, por ejemplo, quinta + cuarta. Sabemos que una quinta “más” una cuarta es una octava. A partir de f, su quinta es (3/2)·f y la cuarta de esta nota intermedia es (4/3)·(3/2)·f = 2·f que, en efecto, es la octava de f.
De modo general, si queremos sumar los intervalos ascendentes i e i’, partimos de una nota cualquiera f, determinamos la nota superior a intervalo i de f, que es i·f y la nota superior a intervalo i’ de esta última, que es i’·(i·f) = (i·i’)· f. Así, la nota final se obtiene a partir de f multiplicándolo por i·i’, número independiente de f, es decir, a la “suma” de dos intervalos le corresponde el producto de los números que representan a los “sumandos”. La “suma” de n intervalos i1, i2, ..., in es el producto i1· i2· ... · in.
Análogamente se prueba que la “resta” de los intervalos i’ e i es el cociente i’ / i.
Como ejemplo, determinemos el semitono i0 del sistema de Temperamento Igual, T.I., aquel en el que los doce semitonos son iguales entre sí: la octava es 2, pero la octava también es la “suma” de los doce semitonos iguales i0 , es decir
Este valor nos permitirá determinar las frecuencias del T.I. con un diapasón de la3 = 440 Hz: las notas superiores se obtienen multiplicando 440 por i0 tantas veces como semitonos haya de diferencia con el la3. Para las inferiores, se parte de la2 = 440 / 2 = 220.
| do3 | 261,6255650 |
| do#3 | 277,1826307 |
| re3 | 293,6647675 |
| mib3 | 311,1269832 |
| mi3 | 329,6275562 |
| fa3 | 349,2282306 |
| fa#3 | 369,9944217 |
| sol3 | 391,9954348 |
| lab3 | 415,3046962 |
| la3 | 440 |
| sib3 | 466,1637614 |
| si3 | 493,8833010 |
Ambas son unidades logarítmicas de intervalos, es decir, decimos que el intervalo i tiene z unidades u si log i = z· u. Con las unidades logarítmicas la aritmética de los intervalos se hace más sencilla en el sentido de que las “sumas” y “restas” de intervalos, que, como sabemos, son “productos” y “cocientes”, corresponden con sumas y restas de logaritmos:
, se tiene la
siguiente definición:
Un cent es la centésima parte del logaritmo decimal del semitono del T.I.
Decimos que un intervalo i es igual a x cents si su logaritmo es log i = x· c. Así, en el T.I., un semitono es igual a 100 cents y un intervalo formado por n semitonos es
Para un intervalo cualquiera, i, su valor x en cents se calcula:
La “suma” de dos intervalos i e i’ tiene como valor en cents la suma de los valores en cents de i e i’ y la “diferencia” entre dos intervalos i’ e i tiene como valor en cents la diferencia de los valores en cents de i e i’.
Como ejemplo, comparemos la quinta pura , la quinta natural o formada por armónicos, con la quinta del T.I.. Calculemos el valor en cents de la quinta pura y después la diferencia entre la quinta del T.I. y la quinta pura restando sus valores en cents:
La diferencia con el valor en cents de la quinta del T.I. es de unos 2 cents, es decir 2 centésimas del logaritmo del semitono del T.I..
Un savart se define como 
= 1 / 1000 =
0,001.
Decimos que un intervalo i tiene y savarts si su
logaritmo log i = y ·. Este valor
y de i en savarts se calcula de la manera
siguiente:
Los batidos son otro elemento familiar para toda persona que afina algún instrumento musical. Se producen entre dos frecuencias que tienen armónicos comunes cercanos. Una tercera que es casi pura produce batidos. Un unísono que no lo es exactamente, además de producir posiblemente algún tipo de malestar o inquietud y ser identificado como un sonido sucio y grueso, produce batidos.
La frecuencia de los batidos es igual a la diferencia que hay entre las frecuencias de los primeros armónicos comunes más cercanos.
Sean dos notas musicales con frecuencias f y f’, siendo f’ más aguda. Los intervalos los consideraremos ascendentes.
| f | 2·f | 3·f | 4·f | ... |
| do | do+1 | sol+1 | do+2 | ... |
| f' | 2·f' | ... | ||
| do' | do' +1 | ... |
| f | 2·f | 3·f | 4·f | ... | ||
| do | do+1 | sol+1 | do+2 | ... | ||
| f' | 2·f' | 3·f' | ... | |||
| sol'+1 | sol'+2 | re'+2 | ... |
| f | 2·f | 3·f | 4·f | ... | ||
| do | do+1 | sol+1 | do+2 | ... | ||
| f' | 2·f' | 3·f' | ... | |||
| fa' | fa'+1 | do'+2 | ... |
| f | 2·f | 3·f | 4·f | 5·f | ... | |||
| do | do+1 | sol+1 | do+2 | mi+2 | ... | |||
| f' | 2·f' | 3·f' | 4·f' | ... | ||||
| mi' | mi'+1 | si'+1 | mi'+2 | ... |
De esta manera se determina la frecuencia de los batidos que se forman en intervalos no puros, pero ya para la tercera menor los armónicos que intervienen son muy lejanos y difíciles de percibir por el oído. Para la octava, quinta, cuarta y tercera mayor la frecuencia de batidos es de la forma
Algunos resultados sobre los batidos
Un resultado importante que se verá en esta sección es el siguiente: mientras que el número que representa a un intervalo es independiente de las alturas de las notas que lo forman, según vimos al principio, la frecuencia de batidos depende de altura de las notas que forman el intervalo.
Los principales comas musicales
Otros intervalos importantes en los temperamentos históricos
Mientras que el diapasón moderno está estandarizado en el la3 = 440 Hz, en música barroca suele ser un semitono inferior y se parte de fa3, la3, do3 o do4. Dado que la referencia actual es el T.I., la altura de tales notas son un semitono de T.I. inferior. Suele convenirse como diapasones para la música barroca el la3 = lab3 (T.I.) = 415,3046962 Hz y el do4 = si3 (T.I.) = 493,8833010 Hz.
Si se conocen las frecuencias de un temperamento según el diapasón moderno, ¿cómo cambiar de diapasón?
El cambio de diapasón supone una traslación de todas las frecuencias, de modo que las relaciones dentro de cada octava se mantienen. Para la realización de un cambio de diapasón hay que conocer el intervalo que sirve de traslación y a partir de él, trasladar todas las frecuencias. Dada una frecuencia f , la nueva frecuencia f’ formará un intervalo i con f, por tanto,
Este último diapasón es algo más agudo que el anterior ya que i2 > i1.
Un temperamento es un compromiso en la afinación para que determinados intervalos sean más puros que otros. Ya Pitágoras sabía que es imposible que todas las quintas sean puras, aunque en la Edad Media, debido al gusto musical de la época, era lo deseable. En el Renacimiento la Polifonía vocal fue acompañada por teclados afinados en Temperamento Mesotónico, que tiene un número máximo de terceras mayores puras. En el Barroco, la mayor riqueza de tonalidades fue también posible por la gran variedad de temperamentos, cada uno con sus propias características.
Un término que aparece frecuentemente en las fuentes históricas es el de partición. Realizar la partición es determinar la afinación de las notas de las octavas centrales del clave: octavas 2ª y 3º según la notación francesa.
Frente al término temperamento utilizaremos el de
sistema para el Sistema Pitagórico y el Sistema de Zarlino
o Escala Natural, en los cuales no hay ningún intervalo
temperado, es decir, modificado en su afinación para
favorecer a otros.
Sistema pitagórico (Edad Media)
Este sistema es conocido a través de un tratado de mediados del s. XV de Henri Arnault Zwolle. En este sistema todas las quintas excepto una son puras, es decir, sin batidos. La quinta que no es pura, llamada quinta del lobo, es la situada entre las notas si y fa#, ya que el uso de la época excluía el modo de si, nota con la cual resultaba imposible formar una quinta (justa) utilizando las notas diatónicas naturales.
Para la afinación según este sistema, se puede empezar
por cualquier nota y afinar quintas puras ascendentes y
descendentes hasta completar el círculo de quintas, siendo
la quinta del lobo el resultado de un si (quinta pura de
mi) y un solb (quinta pura de reb).
Temperamento mesotónico (Renacimiento)
Este temperamento es propio del Renacimiento y se caracteriza por tener el número máximo de terceras mayores puras. Su nombre, tono medio, viene del tono que divide en dos partes iguales a la tercera mayor pura. Si atendemos sólo al valor numérico de los intervalos, el valor de dicho tono es, además, la media geométrica del tono mayor y el tono menor de la Escala Natural. Esto último no es casual, ya que en la Escala Natural, una tercera mayor pura se descompone en un tono mayor y uno menor, de donde
Para la realización de este temperamento, se procede como se describe a continuación:
Temperamento de Bach-Kellner (reconstrucción)
J.S. Bach (1685-1750) no dejó ninguna indicación sobre el temperamento o temperamentos para tocar sus obras. En 1977 H.A. Kellner hizo una reconstrucción de un temperamento que, según él, permite tocar “El Clave Bien Temperado” de J.S. Bach y todas las demás composiciones de él para este instrumento. Este temperamento está basado en un acorde perfecto mayor bien temperado en el cual los batidos de la tercera mayor, mayor que la pura, tienen la misma frecuencia que los de la quinta, menor que la pura. Según el autor, en el espíritu de la concepción musical del Barroco que realza a la vez la teología y una mística del número, el acorde perfecto es una representación de la Trinidad. El acorde perfecto mayor es llamado “trias harmonica perfecta” y considerado como el Tri-Unisonus, la Tri-Unidad sonora. Por sus relaciones 4 : 5 : 6 , el acorde perfecto mayor es el más cercano a la unitas.
| 1 | do3 -do2 | octava |
| 2 | do3 -fa2 | quinta pura |
| 3 | fa2 -sib1 | quinta pura |
| 4 | sib1 -sib2 | octava |
| 5 | sib2 -mib2 | quinta |
| 6 | mib2 -mib3 | octava |
| 7 | mib3 -lab2 | quinta pura |
| 8 | sol#2 -do#2 | quinta pura |
| 9 | do#2 -do#3 | octava |
| 10 | do#3 -fa#2 | quinta pura |
| 11 | fa#2 -si1 | quinta bien temperada; batidos con frecuencia 1/6 de los de la tercera si1 -sib2 |
| 12 | si1 -si2 | octava |
| 13 | si2 -mi2 | quinta pura; prueba: cuarta si 1 -mi2 pura; la tercera do2 -mi2 resultante, ligeramente grande, bate lentamente; hay que descomponerla en 4 quintas bien temperadas |
| 14 | mi2 -mi3 | octava |
| 15 | do2 -sol2 | quinta de Bach bien temperada; bate igual que la tercera do2 -mi2 , igual que los de la quinta bien temperada si1 -fa#2 |
| 16 | sol2 -re3 | quinta de Bach bien temperada |
| 17 | re3 -re2 | octava |
| 18 | re2 -la2 | quinta de Bach bien temperada |
| 19 | la2 -mi3 | prueba: quinta de Bach bien temperada; mi3 no debe variarse |